Eu estava terminando o doutorado no Impa (Instituto de Matemática e Pesquisas Aplicadas), ao final dos anos 1980, quando a comunidade matemática internacional recebeu, com alívio, a notícia de que o problema de Dulac tinha, finalmente, sido resolvido. Melhor ainda, havia duas soluções bem diferentes, devidas a dois destacados matemáticos: Yulij Ilyashenko, de Moscou, e Jean Écalle, de Paris. Parecia o final feliz de uma história tão velha quanto o século 20.
A história começou na famosa palestra no Congresso Internacional de Matemáticos de 1900, em Paris, em que David Hilbert (1862–1943) listou 23 problemas que considerava importantes para o avanço da matemática no novo século. Quase todos esses problemas já foram resolvidos, mas o 16º na lista continua em aberto, apesar de inúmeras tentativas. Ele diz respeito ao número máximo de soluções periódicas isoladas de equações diferenciais polinomiais em duas dimensões.
Em 1923, o francês Henri Dulac (1870–1955) deu um passo importante nessa direção: mesmo não encontrando o número máximo pretendido, pelo menos ele conseguiu provar que o conjunto das soluções periódicas isoladas é sempre finito. Esse resultado ficou conhecido como teorema de Dulac.
O trabalho de Dulac tem só 12 páginas, o que é pouco para um artigo de pesquisa em matemática, mas ele contém argumentos densos e sutis. Relendo-o em 1981, Ilyashenko, possivelmente o maior especialista mundial no tema, descobriu uma lacuna grave nesses argumentos. Isso não quer dizer que o resultado seja falso, mas significa que a solução de Dulac não está correta. O “teorema” passou a ser chamado problema de Dulac.
As dificuldades eram maiores do que parecia inicialmente. Uma década passou, durante a qual diversas novas técnicas precisaram ser introduzidas. Nesse período, o jovem chileno Rodrigo Bamón, então estudante de doutorado no Impa, resolveu o problema de Dulac no caso especial das equações diferenciais quadráticas. Ao final dessa década, Ilyashenko e Écalle anunciaram enfim suas soluções para o caso geral.
Os dois trabalhos são longos, ocupando várias centenas de páginas de texto matemático. Mas as explicações deles eram convincentes, ainda mais dadas as reputações científicas de ambos. As soluções foram aceitas pela comunidade, e Ilyashenko e Écalle foram convidados a apresentar seus resultados no Congresso Internacional de Matemáticos de Kioto, em 1990. Assunto encerrado!
Só que não. Ao final da década passada, numa espécie de déjà vu, foi encontrada uma lacuna grave na solução de Ilyashenko… Eu fiquei sabendo em fevereiro de 2020, durante uma visita a Barcelona, onde ele dava uma série de palestras sobre como consertar a lacuna. Assisti, mas não me convenci. Falando com especialistas recentemente, confirmei que a lacuna persiste até hoje. Quanto à solução de Écalle, que é muito diferente (e ainda mais longa), ninguém sabe se pronunciar com certeza se continua válida ou não.
Qual é a ponto desta história? Revisar e validar trabalhos matemáticos é difícil e demorado (é uma das tarefas em que gastamos mais tempo!). E o problema está se agravando, à medida que os artigos de pesquisa ficam mais longos e mais sofisticados. Isso tem levado especialistas a questionarem como a inteligência artificial pode ajudar. Será o assunto da semana que vem.
Fonte ==> Folha SP – TEC
