Em setembro, a OpenAI anunciou uma aparente solução para 1 dos 7 “Problemas do Prêmio do Milênio” da matemática: Navier-Stokes, uma questão de longa data sobre um conjunto de equações que descreve o comportamento de fluidos como água e ar. Foi um avanço empolgante, mas que também provocou turbulência e perplexidade na comunidade matemática.
Na última terça-feira (6), quando a empresa divulgou centenas de resultados, não havia entre eles nenhuma nova demonstração de um Problema do Milênio. Porém, algumas descobertas pareciam representar avanços significativos em algumas, se não em todas, das cinco questões ainda em aberto, consideradas as mais importantes da área —antes do anúncio da OpenAI, no mês passado, apenas um deles havia sido solucionado.
O que são, exatamente, essas questões em aberto tão especializadas?
Elas são difíceis de entender para quem não é matemático —e até para a maioria dos matemáticos. Mas aqui vai uma tentativa de resumi-las e de oferecer alguma perspectiva sobre como os novos resultados da OpenAI podem —ou não— ajudar a abrir caminho para uma solução.
O que é a hipótese de Riemann?
Formulado em um artigo de 1859 pelo matemático alemão Bernhard Riemann, o problema trata dos números primos —números inteiros maiores que 1 que só podem ser divididos de forma exata por eles mesmos e por 1, como 2, 3, 5, 7, 11, 13 e assim por diante— e de como eles se distribuem ao longo da reta numérica, que se estende até o infinito.
À medida que avançamos pela reta numérica, os primos se tornam mais raros: até 100, cerca de 25% dos números são primos; até 1 milhão, apenas cerca de 7,8% são primos. Riemann formulou uma hipótese de trabalho que fornece uma fórmula precisa para estimar, ou contar, quantos números primos existem abaixo de qualquer número dado.
Riemann pretendia retomar pessoalmente o problema, mas morreu aos 39 anos.
“É um grande problema”, disse Peter Sarnak, matemático da Universidade de Princeton e do Instituto de Estudos Avançados, durante uma palestra sobre a hipótese de Riemann que proferiu em Harvard, em abril. “Em primeiro lugar, é elegante, fácil de enunciar e pode ser refutada.”
Uma demonstração “seria monumental do ponto de vista matemático”, prosseguiu Sarnak. “Ela tem implicações em muitas e muitas áreas diferentes. É por isso que é interessante.”
Mas as aplicações “decisivas”, segundo ele, estão nas demonstrações de conjecturas propostas ao longo dos anos por matemáticos que investigam o problema —extensões da hipótese original que a aplicam a um universo matemático mais amplo.
Sarnak está entre a maioria dos especialistas que dizem acreditar que a hipótese de Riemann seja verdadeira. Se ela for provada falsa, ainda seria possível resolver alguns outros problemas. No entanto, “isso estouraria nossa bolha”, segundo ele. “Muitos de nós ficaríamos bastante abalados.”
O problema nº 3 da lista divulgada pela OpenAI é a “hipótese de quase Riemann”. Sarnak observou que esse resultado foi verificado pelo Lean, um assistente computacional de demonstrações, e, portanto, provavelmente está correto. Mas essas descobertas ficam aquém da hipótese de Riemann original e, por isso, não resolvem o Problema do Milênio.
“É uma grande conquista”, disse Sarnak —se estiver correta.
Alex Kontorovich, chefe do Departamento de Matemática da Rutgers, ficou impressionado com o novo resultado e afirmou que ele renderia uma “Medalha Fields instantânea” se tivesse sido obtido por um ser humano. Questionado, porém, sobre se o resultado seria um passo rumo à demonstração da hipótese de Riemann completa, Kontorovich foi ambivalente.
“Sim e não”, disse ele. “É um avanço fundamental em nossa compreensão —isso é absolutamente inegável.” Mas ele não vê como algo semelhante ao mesmo tipo de argumento poderia resolver por completo a hipótese original de Riemann. “Serão necessárias ideias genuinamente novas para demonstrar a hipótese completa.”
O tempo —talvez não muito— dirá.
O que é a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer?
A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer foi formulada no início da década de 1960 pelos matemáticos britânicos Bryan John Birch e Sir Peter Swinnerton-Dyer, com o auxílio de um dos primeiros computadores a válvulas, o EDSAC-2. Trata-se de um problema fundamental da teoria dos números que envolve a contagem de pontos em curvas elípticas, descritas por um tipo específico de equação cúbica. Os teóricos dos números consideram as curvas elípticas um terreno fértil para investigar e compreender as propriedades dos números inteiros.
Manjul Bhargava, da Universidade de Princeton, que recebeu a Medalha Fields em 2014, refletiu sobre esse problema de tempos em tempos. Em um e-mail, descreveu uma das maneiras como gosta de explicá-lo. Na escola, a maioria dos alunos aprende a fórmula de Bhaskara, que mostra como resolver equações quadráticas. É possível encontrar as soluções racionais de equações quadráticas com qualquer número de variáveis; existe até mesmo um algoritmo capaz de encontrar todas as soluções.
“Também se sabe como resolver equações cúbicas com uma variável”, disse Bhargava. “Mas, quando chegamos às equações cúbicas com duas variáveis, não se sabe como encontrar as soluções racionais!”
Essa é a próxima fronteira. E é por isso que a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer é importante. Ela propõe um algoritmo que resolveria todas as equações cúbicas com duas variáveis, representando o passo seguinte na busca definitiva por resolver todas as equações de todos os graus.
Na lista da OpenAI, disse Bhargava, o problema nº 2 aborda essa conjectura e alcança um “progresso significativo” em um ponto no qual os matemáticos já haviam avançado bastante. Além disso, oferece aos pesquisadores resultados mais robustos sobre os quais poderão desenvolver trabalhos adicionais, afirmou ele, mas “ainda há muito a fazer” para demonstrar a conjectura completa.
O que é a conjectura de Hodge?
O problema nº 32 da lista da OpenAI toca de forma indireta na conjectura de Hodge. É “sem dúvida interessante”, disse David Mumford, matemático da Universidade Brown, em um e-mail. “Mas creio que seja um caso muito específico da conjectura de Hodge. Embora eu talvez esteja enganado.”
A conjectura de Hodge foi apresentada originalmente em 1950 pelo matemático britânico Sir William Vallance Douglas Hodge.
“Conheço bem o problema”, disse Mumford. Mas, ao ser convidado a explicá-lo aos leitores do New York Times, reconheceu: “É um problema difícil de explicar.”
“Ele diz respeito às variedades, o feijão com arroz da geometria algébrica”, disse Mumford, que recebeu a Medalha Fields em 1974.
A geometria algébrica faz a ponte entre o estudo das equações —a álgebra— e o estudo de formas como círculos e esferas —a geometria.
“Variedades” são formas definidas por um tipo específico de equação e existem em todas as dimensões, disse Mumford. Em duas dimensões —digamos, a página em branco de um caderno— há curvas. A curva mais simples é o círculo, que corresponde ao conjunto de soluções da equação x² + y² = 1. Em dimensões superiores, as soluções envolvem números complexos, inclusive o infinito.
A conjectura de Hodge diz respeito às subvariedades, que são variedades contidas em uma variedade maior e fixa, como bonecas russas matemáticas. Para visualizar essa hierarquia: se a variedade maior e fixa for um espaço tridimensional, uma superfície bidimensional dentro desse espaço será uma subvariedade, assim como uma curva unidimensional dentro dele.
Na década de 1920, o matemático Solomon Lefschetz desenvolveu uma teoria segundo a qual uma subvariedade tem uma dimensão a menos do que a variedade maior. O trabalho de Lefschetz inspirou Hodge a formular sua conjectura, que propõe a mesma interligação entre subvariedades quando elas estão separadas por duas ou mais dimensões.
Além da hierarquia de subvariedades semelhante a bonecas russas, o cenário remete a sombras, como ossos projetados em uma radiografia.
A topologia, uma geometria maleável e flexível, revela sombras ou contornos de um espaço ou de uma forma. Os sistemas algébricos de equações representam as estruturas rígidas, semelhantes a ossos, que existem por dentro. A conjectura de Hodge pergunta se toda sombra que exibe uma determinada assinatura simétrica está ligada a um osso que a projeta.
Demonstrar que a conjectura de Hodge é verdadeira, disse Mumford, exigirá uma abordagem radicalmente nova. Há, no entanto, indícios significativos de que ela seja falsa. “É nisso que eu apostaria”, afirmou Mumford.
“Se for falsa, pode haver um exemplo relativamente simples capaz de refutá-la, e a IA poderia ser de grande ajuda”, disse ele. “Encontrar contraexemplos parece ser algo em que a IA é realmente boa.”
O que é P versus NP?
P versus NP é um problema da ciência da computação teórica, disciplina que conecta a matemática à tecnologia da computação.
Michael Sipser, cientista da computação do Instituto de Tecnologia de Massachusetts que dedicou a vida a esse problema, explicou-o da seguinte forma: “P” representa problemas computacionais que podem ser resolvidos rapidamente, enquanto “NP” representa problemas cujas soluções podem ser verificadas rapidamente. Intuitivamente, é mais fácil verificar uma solução do que encontrá-la —como ocorre no Sudoku. O cerne de P versus NP é determinar se essa intuição está correta. Ou seja, podemos demonstrar que alguns problemas têm soluções que podem ser verificadas rapidamente, mas são muito difíceis de encontrar?
A resposta tem sido, para dizer o mínimo, esquiva.
Demonstrar que P é diferente de NP estabeleceria um limite teórico para a computação —algo análogo ao estabelecimento da velocidade da luz como limite na física. “A compreensão adquirida ao demonstrar essa limitação seria revolucionária, e as consequências seriam vastas, embora imprevisíveis neste momento”, disse Sipser.
Segundo ele, considera-se improvável demonstrar que P é igual a NP. Mas, se isso for verdade, abriria novas e extraordinárias formas de usar computadores para otimização e outras tarefas, como decifrar códigos. “Nossa incapacidade de responder à questão P versus NP representa uma enorme lacuna em nossa compreensão desses dispositivos, que hoje desempenham um papel tão importante em nossa vida cotidiana.”
Ele observou que os teóricos estão empacados nesse problema há décadas e praticamente não fizeram progresso algum nos últimos anos.
O problema nº 129 da lista da OpenAI —chamado de “conjectura de concisão de estados de Sakoda-Sipser”— está apenas indiretamente relacionado a P versus NP, afirmou Sipser. “Trabalhei nele por cerca de um ano quando era pós-graduando, ainda na década de 1970, pensando que talvez fosse uma versão ‘mais simples’ de P versus NP, e ele permaneceu sem solução até agora”, disse.
Ele acrescentou que resolver P versus NP, assim como vários desses grandes problemas, exigiria o desenvolvimento de uma abordagem totalmente nova. “Não sei o que isso poderia envolver. Quem me dera saber!”, disse Sipser.
O que são Yang-Mills e o gap de massa?
Segundo Edward Witten, físico teórico do Instituto de Estudos Avançados, nada no comunicado da OpenAI aborda diretamente o problema de Yang-Mills. “No entanto, eles resolveram um problema há muito reconhecido como um análogo potencialmente muito mais simples do problema de Yang-Mills, mas com um estreito paralelismo entre ambos”, afirmou Witten por e-mail. Trata-se do problema nº 215 da lista da OpenAI.
Em termos mais simples, Yang-Mills e o gap de massa dizem respeito à física em contraste com a matemática: as teorias físicas funcionam nos experimentos, mas a matemática rigorosa necessária para fundamentá-las ainda não foi demonstrada.
O ponto de partida é a teoria quântica de campos, desenvolvida no fim da década de 1920. A teoria quântica de campos clássica fornece uma estrutura para a eletrodinâmica —descrevendo a eletricidade, o magnetismo e a luz, todos regidos por equações lineares. “No entanto, a teoria quântica de campos é tão complexa que tem sido difícil compreendê-la matematicamente”, afirmou Witten, que, em 1990, se tornou o primeiro físico a receber uma Medalha Fields.
A teoria quântica de Yang-Mills fornece uma estrutura na qual equações não lineares geram as forças nucleares que mantêm prótons e nêutrons unidos nos núcleos atômicos. Formulada pelos físicos teóricos C.N. Yang e Robert Mills em 1953 e publicada no ano seguinte, a importância dessa teoria não foi compreendida de imediato.
Em 1973, David Gross, da Universidade da Califórnia em Santa Bárbara, e Frank Wilczek, do MIT, juntamente com um trabalho independente de David Politzer, do Caltech, revelaram uma propriedade física chamada liberdade assintótica.
Segundo Witten, essa descoberta permitiu aos físicos compreender melhor a força nuclear. Também indicou que provar a existência da teoria quântica de Yang-Mills no espaço-tempo de quatro dimensões era fundamental para compreender a estrutura matemática da física subatômica moderna.
Apesar de alguns avanços nessa parte do problema, o progresso tem sido lento.
A segunda parte do problema envolve o chamado gap de massa. “Tomando algumas pequenas liberdades”, disse Witten, a ideia essencial é “explicar por que prótons e nêutrons (e outras partículas semelhantes) têm massa, em vez de se deslocarem como fótons à velocidade da luz”. Segundo ele, a noção de gap se refere à diferença entre zero, a menor massa permitida pela teoria da relatividade, e a massa da partícula mais leve prevista pela teoria de Yang-Mills.
Com base em experimentos no mundo real e simulações computacionais, os físicos acreditam que essas partículas de fato possuem massa.
“Mas, ao contrário da primeira parte do problema”, disse Witten, referindo-se a Yang-Mills, “para a qual temos ideias sobre possíveis abordagens, o nível de compreensão que temos hoje não fornece, na minha opinião, uma orientação clara sobre como resolver a segunda parte”, ou seja, o gap de massa.
“Não ficarei surpreso se a parte do gap de massa do problema de Yang-Mills acabar sendo o último dos Problemas do Milênio a ser resolvido”, afirmou Witten no mês passado.
Mas isso foi antes de ele ver o problema 215 da OpenAI. Na quarta-feira (7), Witten respondeu com uma atualização: “São cinco artigos ao todo, o que deixa claro que eles estudaram esse problema de forma muito minuciosa”, disse. “Os artigos são complexos demais para que eu consiga, neste momento, compreender em detalhes grande parte do que fizeram.”
“Estou muito surpreso com o fato de terem conseguido provar o gap de massa” no problema análogo, acrescentou, afirmando que “não achava que isso fosse acessível aos métodos disponíveis. Continuo cético quanto ao gap de massa no caso de Yang-Mills, mas veremos”.
Fonte ==> Folha SP – TEC
