Todo mundo lembra da escola: um inteiro maior do que 1 é primo se tem apenas dois divisores, ele mesmo e a unidade. A denominação vem do latim primus (primeiro) e reflete o fato de que esses números geram todos os demais: todo inteiro maior do que 1 é um produto de primos. Sabemos muito sobre primos, mas também ignoramos muita coisa.
O 2 é o único primo par, claro. A partir de 3 os primos são necessariamente ímpares, e isso implica que a lacuna (diferença) entre dois primos consecutivos é de, pelo menos, 2 unidades. No início é isso mesmo, porque os primeiros ímpares (3, 5 e 7) são primos. Mas logo surge uma lacuna maior, de 4 unidades, porque 9 não é primo e, por isso, a sequência dos primos pula direto de 7 para 11 (lacuna de 4). As lacunas vão ficando maiores e mais frequentes à medida que os números aumentam: por exemplo, entre 23 e 29 não há nenhum primo (lacuna de 6) e entre 523 e 541 também não (lacuna de 14). Mas ninguém sabe dizer como isso acontece.
Represente por n! o produto de todos os inteiros de 1 até n. É fácil ver que nenhum dos números n!+2, n!+3, …, n!+n é primo: o primeiro é divisível por 2, o segundo é divisível por 3, …, e o último da lista é divisível por n. Isso quer dizer que, para qualquer inteiro n, depois de n!+1 existe uma lacuna de n-1 ou mais. Logo, existem lacunas tão grandes quanto quisermos.
Também existem lacunas pequenas. Em 2013, o matemático chinês Yitang Zhang provou que existe um número N tal que existem infinitas lacunas menores ou igual a N. Quer dizer, existem infinitos pares de primos consecutivos cuja diferença é menor ou igual a N. As estimativas dele foram bastante melhoradas e hoje sabemos que podemos tomar N=246. O grande desafio seria provar que podemos tomar N=2, ou seja, que existem infinitos pares de ímpares consecutivos que são ambos primos. É a conjectura dos primos gêmeos, um dos problemas não resolvidos mais antigos de toda a matemática.
O teorema dos números primos foi provado ao final do século 19 pelos matemáticos franceses Jacques Hadamard (1865-1963) e Charles-Jean de La Vallée Poussin (1866-1962). Ele diz que, para qualquer N grande, a proporção dos inteiros de 1 a N que são primos é aproximadamente igual ao inverso de log N (logaritmo natural). Uma consequência é que a lacuna média de primos entre 1 e N é aproximadamente de log N.
Outro dos principais problemas não resolvidos nesta área é a conjectura de Cramér, proposta pelo sueco Harald Cramér (1893-1985) em 1936. Ela afirma que existe um número fixo C tal que a lacuna após cada primo p é sempre menor do que C (log p)², ou seja, menor do que o quadrado do logaritmo natural de p multiplicado por essa constante C. Uma versão mais forte da conjectura diz que, inclusive, podemos tomar C=1. Cramér provou que a lacuna é menor do que C √p log p, mas para isso ele precisou supor que a Hipótese de Riemann é verdadeira (o que nós não sabemos). O melhor resultado que está completamente provado é que a lacuna é menor do que C p0,525.
Também existem resultados na direção contrária: recentemente, um grupo de cinco matemáticos –Ford, Green, Konyagin, Maynard e Tao– descobriu uma fórmula (complicada!) que limita por baixo o tamanho de uma quantidade infinita de lacunas. Quem sabe dará para falar dela aqui…
Fonte ==> Folha SP – TEC
